11 december 2020
Wanneer ben ik aan de beurt? Over vaccinatie en wiskunde
Het was te verwachten. Het goede nieuws heeft ons bereikt dat er meerdere vaccins in productie zijn die binnenkort voor iedereen beschikbaar zullen zijn zodat de grote vaccinatiegolf in zicht komt. Voor een keer zien we een tsunami met plezier tegemoet (enfin, op de ‘anti-vaxxers’ na). Het minder goede nieuws is dat het ons voor een grote uitdaging plaatst. Het is al vaak gezegd en geschreven dat het hele proces veel tijd zal vragen, om totaal begrijpelijke redenen, laat dat duidelijk zijn. Voor wie zich aangesproken voelt door logistiek, moet dit een natte droom zijn. Alleen al het transport van een van de vaccins bij -70° C, wat een uitdaging! Dus het zal tijd vragen en dat betekent dat niet iedereen gelijk aan de bak zal komen. Er moet dus een volgorde bepaald worden. (Tussengedachte: dit is een apart onderwerp maar ik vermeld het toch maar even: tijd is een bepalende factor in dit proces. Stel dat iedereen kon gevaccineerd worden op één dag, we zouden geen discussie hebben. Die rol van de tijd is vaak onderbelicht en vraagt een aparte studie.) De federale regering heeft verrassend genoeg voor een keer dat vraagstuk resoluut aangepakt en een volgorde bepaald. Meteen flakkerde de discussie op: waarom die eerst en die niet? De vraag die ik in deze bijdrage wil proberen te beantwoorden is waarom zo’n discussie onvermijdelijk is en ingewikkeld moet zijn. Bovendien zal ik hiervoor een stukje wiskunde en een brokje logica inschakelen.
_Hoeveel keuzes zijn er?
Laat ik eenvoudig van start gaan. Stel dat we alle mensen op de aardbol in een rij kunnen plaatsen, dan is de vaccinatievraag in welke volgorde ze moeten staan. Stel vervolgens dat we een lijst zouden kunnen maken van alle mogelijke volgordes dan wordt de vraag welke volgorde we selecteren. De vervolgvraag hoe we die bepaalde keuze kunnen verantwoorden stel ik voorlopig even uit. Maar eerst een eenvoudig voorbeeld: stel dat er maar twee mensen m1 en m2 zijn. Dan heb je twee keuzes: m1 eerst en dan m2 of omgekeerd. Komt er een mens m3 bij dan blijft de zaak behapbaar. Want met drie mensen heb je nog maar zes mogelijkheden. Waarom? Je hebt drie mogelijkheden om een van de drie op de eerste plaats te zetten, vervolgens blijven er nog twee over voor de tweede plaats en daardoor ligt de derde plaats vast, dus 3 maal 2 maal 1 en dat is 6. Dezelfde redenering kan voor een willekeurig aantal mensen gemaakt worden. Dus gaat het over, bijvoorbeeld, 10 mensen, dan heb je 10 maal 9 maal 8 … maal 2 maal 1 mogelijke rangschikkingen en dat is afgerond 3,6 miljoen! Een serieuze sprong. Het wordt nog vreemder! Met slechts 14 mogelijkheden kun je aan elke aardbewoner al een verschillende rangschikking bezorgen. Het fenomeen dat de getallen zo de hoogte in schieten, zou ons bekend moeten zijn. Men heeft ons namelijk de voorbije maanden op niets anders gewezen: exponentiële groei.
Hoe kunnen we hiermee omgaan? Het antwoord ligt voor de hand: er is geen noodzaak om alle mensen individueel één voor één te rangschikken. Deel de bevolking op in grote groepen en beperk de vraag tot het rangschikken van die groepen. Dat is uiteraard een zeer verstandige strategie, maar ze draagt een groot gevaar in zich en dat is de overdrijving. Voor je het weet worden de groepen te groot gemaakt en duiken er omschrijvingen op als 'de jeugd', 'de ouderen', 'de verzorgers' … De veralgemening tot een bepaalde groep gaat vaak samen met het gebruik van het bepaald lidwoord 'de' of 'het'. Voor je het weet wordt je gevraagd om een keuze te maken tussen 'de' ouderen eerst of 'de' jeugd eerst. Laat staan als men vraagt om te kiezen tussen 'de' ouderen of 'de' economie. Er is niets mis met het weigeren van een keuze als men argumenten meent te hebben dat datgene waartussen moet gekozen worden niet bestaat. Straf voorbeeld: stel dat een lid van Vlaams Belang jou vraagt of je kiest voor eigen volk eerst of voor buitenlanders eerst dan hoop ik dat jouw antwoord is dat zo’n keuze verwerpelijk is. Tegelijkertijd is het ook duidelijk dat het samenvoegen van individuen tot groepen noodzakelijk is gezien de mathematische onmogelijkheid om ieder individu apart te beschouwen. Maar er is meer.
_Over criteria
In een democratische samenleving mag men verwachten dat wie een keuze maakt ook bereid is om argumenten en overwegingen aan te dragen om die keuze te motiveren en te verantwoorden. Vermits we hier nu concreet spreken over rangschikkingen, kun je in eerste instantie denken aan één of andere maatstaf of criterium. In het ideale geval heb je één criterium dat zich bovendien kwantitatief laat uitdrukken. Een typisch voorbeeld in de vaccinatiediscussie is leeftijd. Als het criterium luidt dat hogere leeftijd voorrang heeft op lagere leeftijd dan ligt de rangschikking vast. Of het omgekeerde. En dus moeten we een discussie hebben over criteria. In principe is dit niet onoplosbaar maar nu duikt er een ander probleem op. Wat als we ons niet in het ideale geval bevinden? Wat als er meerdere criteria in het geding zijn? Stel even dat er twee criteria zijn, c1 en c2, waarover we het eens zijn dat die de keuzes zullen bepalen en dat er opnieuw twee mensen m1 en m2 zijn en dat ten slotte m1 goed scoort op c1, slecht op c2 en m2 slecht op c1 maar goed op c2. Voorbeeld: c1 gaat over leeftijd en c2 over gezondheid. De beschreven situatie komt dan overeen met aan de ene kant een zieke jongere en aan de andere kant een gezonde senior. Wat te doen? Een direct antwoord is om de criteria te rangschikken. Is het niet curieus te moeten vaststellen dat de discussie over het rangschikken van mensen zich nu getransformeerd heeft naar het rangschikken van criteria? Let wel, elke taxonoom kent dit probleem maar al te goed en er zijn vele oplossingen mogelijk waardoor je moet discussiëren over … Dit alles betekent dat we verplicht zijn om vele discussies te hebben met heel veel verwarring en vol van misverstanden en dat is ook wat we vandaag zien. Wees dus niet verbaasd, het is onvermijdelijk.
_De kracht van de wiskunde
Deze blog kan ook gelezen worden als een pleidooi voor de kracht van de wiskunde. Is het niet mooi dat ik, vertrekkende van een half-wiskundige analyse, tot het besluit gekomen ben dat het onvermijdelijk is dat discussies over vaccinatie moeilijk en lastig zijn? Het echte besluit is dat wiskunde echt overal is en helpt om de complexiteit van de wereld te begrijpen.
Meer van Jean Paul Van Bendegem